Skip to main content

Теория: Деление многочлена на многочлен в столбик (* доп. раздел)

Задание

Разделите многочлен \(\displaystyle x^{\,2}+3x+2\) на многочлен \(\displaystyle x+1\) в столбик:
 

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \phantom{\,\,} x^{\,2}+3x+2\) \(\displaystyle x+1\)
x^2+x
x+2
  \(\displaystyle \phantom{ x^{\,2}+} -\)
2x+2
2x+2
    \(\displaystyle 0\phantom{ x}\)


и запишите разложение:

\(\displaystyle x^{\,2}+3x+2=(x+1)\cdot \big(\)
x+2
\(\displaystyle \big){\small . }\)
Решение

Разделим многочлен \(\displaystyle x^{\,2}+3x+2\) на многочлен \(\displaystyle x+1\) в столбик.

Одночлен старшей степени у делителя \(\displaystyle x+1\) – это одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}{\small .}\)

Шаг 1. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{blue}{x^{\,2}+3x+2}}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2{\small ,}\) это одночлен \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}{\small .}\)

2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}\) на одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}\,{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{ \color{blue}{x^{\,2}} }{\color{red}{x}}=\color{blue}{x}{\small .}\)

Записываем результат деления как первое слагаемое частного:

\(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2\) \(\displaystyle \small x+1\)
 
\(\displaystyle \small \color{blue}{x}\,?\)

3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2\) многочлен \(\displaystyle \color{blue}{x}\cdot (x+1)=x^{\,2}+x \,{\small :}\)

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small \color{blue}{x^{\,2}}+3x+2\) \(\displaystyle \small x+1\)
\(\displaystyle \small x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle \small \color{blue}{x}\,?\)
  \(\displaystyle \small 2x+2\)

Получаем многочлен \(\displaystyle 2x+2{\small . }\)

Шаг 2. Деление многочлена \(\displaystyle {\small \color{green}{2x+2}}\)

1. Выбираем одночлен старшей степени в записи многочлена \(\displaystyle \color{green}{2x}+2{\small ,}\) это \(\displaystyle \color{green}{2x}{\small .}\)

2. Делим одночлен \(\displaystyle \color{green}{2x}\) на одночлен \(\displaystyle \color{red}{x}\,{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{\color{green}{2x}}{\color{red}{x}}=\color{green}{2}{\small .}\)

Записываем результат как второе слагаемое частного со знаком \(\displaystyle "+"\):

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small x^{\,2}+3x+2\) \(\displaystyle \small x+1\)
\(\displaystyle \small x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle \small x\color{green}{+2}\)
  \(\displaystyle \small \color{green}{ 2x}+2\)

3. Вычитаем в столбик из многочлена \(\displaystyle \color{green}{2x}+2\) многочлен \(\displaystyle \color{green}{2}\cdot(x+1)=2x+2 {\small :}\)

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \small x^{\,2}+3x+2\) \(\displaystyle \small x+1\)
\(\displaystyle \small x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle \small x\color{green}{+2}\)
  \(\displaystyle \phantom{1} -\) \(\displaystyle \small \color{green}{ 2x}+2\)
  \(\displaystyle \small 2x+2\)
  \(\displaystyle \small 0\)

В итоге получаем \(\displaystyle 0{\small ,}\) процесс деления закончен.

Таким образом,

\(\displaystyle -\) \(\displaystyle \color{blue}{ x^{\,2}+3x+2}\) \(\displaystyle x+1\)
\(\displaystyle x^{\,2}+x\)
\(\displaystyle x+2\)
  \(\displaystyle \phantom{1\,} -\) \(\displaystyle \color{green}{ 2x+2}\)
  \(\displaystyle 2x+2\)
  \(\displaystyle 0\,\)

и

\(\displaystyle x^{\,2}+3x+2=(x+1)\cdot ({\bf x+2}){\small .}\)